1. O Pilar da Autonomia
Focamos principalmente em sistemas autônomos. Um sistema com a propriedade de que $F$ e $G$ nas equações (1) não dependem da variável independente $t$ é dito ser autônomo. Essa independência permite interpretar as trajetórias como caminhos permanentes em um plano de fase fixo.
Para qualquer sistema autônomo $\mathbf{x}' = \mathbf{f}(\mathbf{x})$, existe uma solução única que satisfaz $\mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0$. No plano de fase, isso garante que as trajetórias nunca se cruzam; o caminho é determinado inteiramente pelo estado atual, e não pelo momento em que você chegou lá.
2. Referências Lineares versus Realidades Não Lineares
Em sistemas lineares $\mathbf{x}' = \mathbf{Ax}$, a origem é tipicamente o único ponto de equilíbrio, governado pelo determinante $q = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ e pela traço. No entanto, sistemas não lineares são definidos por seus pontos críticos—localizações onde o lado direito é zero. Um grande Erro comum é que pode haver vários, ou muitos, pontos críticos competindo por influência nas trajetórias.
Exemplo: O Pêndulo Não Linear
Diferentemente do sistema massa-mola linear, onde o período é constante, o período $T$ de um pêndulo não linear depende de sua amplitude, expresso por meio da integral elíptica:
$$T = 4\sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \phi}}$$
3. Estabilidade e a Visão de Liapunov
Para analisar esses pontos sem resolver as equações, utilizamos Funções de Liapunov. Seja $V$ definida em algum domínio $D$ contendo a origem. Então $V$ é dita ser positiva definida em $D$ se $V(0, 0) = 0$ e $V(x, y) > 0$ para todos os outros pontos em $D$.
Conforme escalamos para 3D, encontramos a matriz de Lorenz:
$$\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} -10 & 10 & 0 \\ 1 & -1 & -\sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} \\ \sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} & \sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} & -\frac{8}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}$$